연금 미래가치 계산법

현재의 돈 10만원과 미래의 돈 10만원은 명목상의 금액은 같지만 가치는 다릅니다.

시간이 지남에 따라 돈의 시간 가치가 달라지기 때문인데요, 연금의 미래가치 계산법은 돈의 시간가치 개념을 이해하기에 좋은 소재입니다. 복리 개념을 더 깊이 이해할 수도 있고요.

연금 미래가치 계산은 매달 또는 매년 일정한 금액을 받는 경우 복리를 적용하여 일정 시점에서의 미래가치를 계산하는 것인데요,

원래는 일정한 금액을 받는 경우를 계산하는 것이지만, 일정 금액을 복리로 저축하는 경우와 일정 금액을 투자하는 하는 것과 사실상 같기 때문에 연금 미래가치 계산법은 복리 저축이나 투자에도 적용할 수 있습니다.

연금 미래가치 계산법

연금 미래가치 계산은 한 번 받는 금액 또는 한 번 투자하는 금액이 아니라 (이 경우에 대해서는 단리, 복리 계산법을 참고하세요) 일정한 금액을 계속해서 투자하는 점이 다릅니다.

그런데 미래가치를 계산하는 시점을 00년 후 연말 시점이라고 가정하면 연금을 받는 시점이 매년 초인가 아니면 매년 말인가에 따라 계산 결과가 다를 것입니다. 이자 붙는 기간이 달라지니까요. 해서 연금 미래가치 계산법은 연말에 연금을 받는가 아니면 연말에 연금을 받는가에 따라 조금 다른 공식을 적용하게 되는데요(약간만 다를 뿐입니다.), 지금부터 각각에 대해 알아 보겠습니다.

연초에 받는 연금의 미래가치

연금의 미래가치 계산 공식을 이해하려면 현금흐름이 어떻게 발생하는 가를 그려보는 것이 도움이 됩니다.

매년 초 일정한 금액 A를 받는 현금흐름의 n년말 시점 미래가치를 계산하려고 한다면 아래와 같은 현금흐름을 그려 볼 수 있습니다.

연초 연금 현금흐름

연금이기 때문에 여러 번의 현금흐름이 발생하죠. 연금 미래가치 계산은 이 각각의 현금흐름에 대해 일정시점(여기서는 n년말)의 미래가치를 계산한 후 모두 더해 주면 됩니다. 연 이자율을 R이라 하고 연초 연금 흐름 각각에 대해 미래가치를 계산해 보면 아래와 같습니다.

 연초 연금 미래가치이제 연초 연금의 미래가치 계산 공식을 도출할 수 있게 되었습니다. 위 이미지에서 제일 오른쪽 끝 n년차 말 시점의 금액을 모두 더해 주면 되는 것입니다. 즉, n년차 말 시점의 A(1+R), A(1+R)^2, \ldots , A(1+R)^n 을 모두 더해 주면 되는 것이죠.

연초 연금의 n년말 시점 미래가치는 A(1+R) + A(1+R)^2 + A(1+R)^3 + \ldots + A(1+R)^{n-1} +A(1+R)^n 인데요, 등비수열의 합 공식을 이용해서 간단하게 정리할 수 있습니다.

초항이 a, 공비가 r, 항수가 n개인 등비수열의 합 공식은 \frac{a(r^n-1)}{r-1}인데요, 우리는 a 대신에 A(1+R), r 대신에 (1+R)을 대입하여 다음과 같이 연초 연금 미래가치 공식을 얻을 수 있습니다.

\frac{A(1+R) \Big[(1+R)^n - 1 \Big]}{R}

연 이자율이 5%인 경우 연초에 10만원씩 받는 연금의 20년 후 연말 시점의 미래가치는 위 공식을 적용하면 \frac{10(1+0.05) \Big[(1+0.05)^{20} - 1 \Big]}{0.05} \doteq 347만원 이라는 것을 알 수 있습니다.

기왕에 연금 미래가치 계산법에 대해 알아보고 있는 만큼 연초가 아니라 매월 초에 연금을 받는 경우도 알아 볼까요?

앞에서 도출한 미래가치 공식을 조금만 수정하면 됩니다. 공식은 1년에 한 번 받는 것을 가정했는데, 1년에 12번 받으니까 항의 갯수는 n \times 12 로 늘어 납니다. 각각에 대한 이자율도 연 이자율이 아니라 월 이자율로 환산해 주어야 되니까 R 대신에 \frac{R}{12}을 쓰면 되겠습니다. 따라서 월초에 받는 연금의 미래가치 공식은 다음과 같이 도출 되겠네요.

\frac{A(1+\frac{R}{12}) \Big[(1+\frac{R}{12})^{12 \times n} - 1 \Big]}{\frac{R}{12}}

공식이 조금 복잡해 보이죠. 매월 초 받는 연금 미래가치 공식은 굳이 기억하지 않아도 됩니다. 매년 초 받는 연금의 미래가치 공식을 이해하고 있으면 자연스럽게 도출할 수 있으니까요.

시험 보는 학생이 아니라면 사실 공식을 기억할 필요 없습니다. 연금 미래가치 계산기를 이용하면 되니까요.

이제 이 글의 끝부분에 도착해 갑니다. 연금을 매년 초가 아니라 매년 말에 받는 경우를 생각해 볼 시간입니다.

연말에 연금을 받는 미래가치 계산법

연말에 받는 연금의 현금흐름과 각각의 n년 말 시점 미래가치를 그려 보면 다음과 같게 되겠지요.

연말 연금 미래가치

연말 연금의 미래가치는 앞에서 본 것과 마찬가치로 각각의 현금흐름에 대해 n년차 말 시점의 미래가치를 계산한 것들(위 이미지에서 n년차 말 밑의 현금흐름 모두)를 더해 주면 됩니다.

연초 연금과 거의 비슷하죠. 차이가 있다면 제일 밑의 금액이 A(1+R)이 아니라 A라는 것과 제일 위의 금액이 A(1+R)^{n}가 아니라 A(1+R)^{n-1}라는 것입니다. 항의 갯수는 연초 연금의 경우와 같은 n개 입니다. 제가 고등학생 시절에 항의 갯수가 n개라는 것이 잘 이해가 안되서 고생을 했는데요,

제일 마지막 금액의 차수가 (n-1)이어서 항의 갯수는 (n-1)개가 아닌가… 라고 생각을 했던 것인데, A부터 시작을 해서 A(1+R)^1 \ldots A(1+R)^{n-1}까지 가는 것이기 때문에 항의 갯수는 n개라는 것을 한참 지나서 이해했던 기억이 나네요.

사람마다 헷갈리는 지점은 조금씩 다르기 때문에 여러분은 잘 이해하셨으리라 믿습니다.

어쨌든 이제 연말 연금 미래가치 공식을 도출할 수 있게 되었습니다.

A, A(1+R)^1, A(1+R)^2 , \ldots , A(1+R)^{n-1} 을 모두 더해 주는데, 여기에 등비수열의 합 공식을 이용하면 연말 연금의 n년말 시점 미래가치 공식은 다음과 같게 됩니다.

\frac{A \Big[ (1+R)^n - 1 \Big]}{R}

연말이 아니라 매월 말에 받는 연금의 경우는 앞에서 본 것처럼 n 대신에 n \times 12 , R 대신에 \frac{R}{12}을 대입하면 되겠지요. 따라서 월말에 받는 연금의 미래가치 공식을 다음과 같이 도출할 수 있습니다.

\frac{A\Big[(1+\frac{R}{12})^{12 \times n} - 1 \Big]}{\frac{R}{12}}

문제 하나를 풀어 볼까요? 연 이자율이 5%인 경우에 매달 말 10만원 씩 받는 연금의 10년 후의 연금의 미래가치를 계산하려면 위의 공식에 대입만 해 주면 됩니다.

\frac{10 \times \Big[(1+\frac{0.05}{12})^{12 \times 10} -1 \Big]}{\frac{0.05}{12}} \doteq 1,553

지금까지 연금의 미래가치 계산법과 공식에 대해 알아 보았습니다. 연금 미래가치 계산기도 있으니 굳이 계산법이나 공식을 알고 있어야 하는 것은 아니지만, 대략 어떤 식으로 계산하더라… 하는 감은 알고 있는 것이 좋습니다.

글 머리에서도 이야기 했지만 연금 미래가치는 복리 저축이나 복리 투자에 그대로 적용할 수 있거든요.

재테크로 돈을 모으기 위해서는 ‘복리’를 머리 속에 넣어 두고 복리로 돈을 불릴 수 있는 방법을 찾아야 하는데, 연금 미래가치 계산법은 복리 개념을 이해하기에 좋은 소재라고 생각합니다.

공식을 기억하고 있을 필요는 없지만 연금처럼 불어나는 복리 투자를 항상 염두에 두시기 바랍니다.

2 thoughts on “연금 미래가치 계산법”

  1. 대단한 공부하고 실제로 연습도 하고 갑니다.
    대단히 고맙습니다.
    .
    연습하다보니 년기간을 월기간으로 변형 할 때
    R/12 알고 있습니다
    .
    끝에서 두 번 째 공식에서 12/R 로 있네요
    고맙습니다
    2016.9.2

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